Метод прямоугольников

Метод прямоугольников – метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на константу, для каждого элементарного отрезка.

Описание алгоритма

Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах.

Если отрезок [a, b] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по одной из трех формул:

Формула левых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Формула центральных прямоугольников

где f_i = f(x_i), x_i = a + ih, h = (b - a)/n

Реализация алгоритма

using System;

class Program
{
    static double LeftRectangle(Func<double, double> f, double a, double b, int n)
    {
        var h = (b - a) / n;
        var sum = 0d;
        for(var i = 0; i <= n-1; i++)
        {
            var x = a + i * h;
            sum += f(x);
        }

        var result = h * sum;
        return result;
    }

    static double RightRectangle(Func<double, double> f, double a, double b, int n)
    {
        var h = (b - a) / n;
        var sum = 0d;
        for (var i = 1; i <= n; i++)
        {
            var x = a + i * h;
            sum += f(x);
        }

        var result = h * sum;
        return result;
    }

    static double CentralRectangle(Func<double, double> f, double a, double b, int n)
    {
        var h = (b - a) / n;
        var sum = (f(a) + f(b)) / 2;
        for (var i = 1; i < n; i++)
        {
            var x = a + h * i;
            sum += f(x);
        }

        var result = h * sum;
        return result;
    }

    static void Main(string[] args)
    {
        //локальная функция
        double f(double x) => x / (x - 1);

        var result = LeftRectangle(f, 4, 10, 1000);
        Console.WriteLine("Формула левых прямоугольников: {0}", result);
        result = RightRectangle(f, 4, 10, 1000);
        Console.WriteLine("Формула правых прямоугольников: {0}", result);
        result = CentralRectangle(f, 4, 10, 1000);
        Console.WriteLine("Формула средних прямоугольников: {0}", result);

        Console.ReadKey();
    }
}